Каким образом математика соотносится с нашим физическим миром? Удивительно, как много раз нам удавалось находить математические средства для приемлемого описания мира — начиная с падающих тел и планет и заканчивая строением атома и глобальной структурой Вселенной. Но сегодня мы близки к исчерпанию запаса простоты: с разных сторон нас окружают сложные физические системы, с которыми нам трудно обращаться математически, считает известный ученый Алексей Семихатов. О математическом взгляде на структуру нашей реальности, странностях квантового мира и не только физик и математик рассказал в интервью для портала «Научная Россия».
Алексей Михайлович Семихатов ― доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник теоретического отдела Физического института им. П.Н. Лебедева РАН (ФИАН), популяризатор науки, лектор и телеведущий.
― В математике существует теория Софуса Ли, содержащая в себе некие группы симметрий, одна из которых реализуется в нашей природе. Получается, то, что мы видим на ускорителях частиц, было предсказано математической теорией и в природе на фундаментальном уровне реализован один из списков из учебника математики. Почему это так?
― Мы не знаем почему. Но зато нам известно, что начиная с Нового времени описание мира в науке ― это математическое описание. Ответа на вопрос, почему так случилось, у нас нет, но мы страшно радуемся этому факту, потому что он позволяет нам делать предсказания. Мы предсказываем наш мир на основе манипуляций с какими-то математическими объектами, уравнениями, и такое положение вещей существует еще со времен Исаака Ньютона. При этом огромную роль в устройстве мира играют симметрии. Они бывают в том числе сложными и не сводящимися ни к отражению в пространстве, ни к повороту в пространстве. Такие симметрии требуют привлечения математических структур. Огромное количество явлений мы постигаем благодаря понимаю тех или иных симметрий, управляющими этими явлениями. Прекрасный пример ― кварки, составляющие ядро атома. В их предсказании огромную роль сыграли математические соображения.
― Каким образом?
Унитарная симметрия (от франц. unitaire, лат. unitas — единство) — приближенная симметрия сильных (ядерных) взаимодействий элементарных частиц, отражающая существование общих свойств у групп сильновзаимодействующих частиц. Послужила основанием для систематики элементарных частиц и привела в конечном итоге к возникновению квантовой хромодинамики и предсказанию кварков и глюонов. Источник справки: Савченко В.Н., Смагин В.П. Начала современного естествознания. Тезаурус. Ростов-на-Дону. 2006. Источник иллюстрации: фотобанк freepik.com
― А это очень интересная история. Сначала нам казалось, что элементарных частиц, составляющих материю, совсем немного: электрон, протон, нейтрон да нейтрино. Но затем мы начали строить ускорители, и выяснилось, что существуют не десятки и даже не одна сотня частиц, а многие сотни ― целый зоопарк! Когда физики стали объединять частицы в группы по некоторым похожим свойствам, было обнаружено, что есть группы из 8, 15, 21 частицы и т.д., ― в результате появился ряд чисел, выражающих размеры этих групп; открываемые на ускорителях частицы попадали в группы по некоторым симметрийным признакам. И выяснилось, что можно было открыть учебник совершенно чистой математики, просто изучающей свойства симметрии в конкретном воплощении, называемом алгебрами Ли, или группами Ли, ― и найти эти размеры там! Теория Софуса Ли, возникшая к началу XX в., сообщала нечто определенное в отношении чисел, полученных нами из эксперимента: они укладывались в некоторый ряд, которым управляет одна и та же базовая симметрия (базовые законы преобразования могут проявлять себя, действуя одним образом на группе из восьми объектов, другим ― на группе из 15 и т.д.).
Таким образом, стало понятно, что по неизвестным нам причинам часть мира управляется математической симметрией, имеющей техническое название SU(3), или «теория унитарной симметрии». Самое фундаментальное проявление этой симметрии ― когда она управляет группой из трех объектов. Но ни одной такой «группы из трех» на ускорителях не наблюдалось! Пришлось сделать предположение, что мы по каким-то причинам просто не можем их увидеть.
Каждое ядро атома содержит в себе шесть кварков: три находятся ― в протоне, три ― в нейтроне. Эти кварки, составляющие ядро атома, бывают двух типов: u-кварки (up-quarks, или верхние кварки) и d-кварки (down-quarks, или нижние кварки). Источник иллюстрации: Астрономия с Ауриэль.
― Речь идет о кварках?
― Да. Но в то время, о котором я говорю, в 1960-е гг., ученые даже не знали, существуют ли вообще кварки в природе или нет. Мы располагали только предположениями, за которыми, однако, стоял удивительный математический факт. Заключался он в том, что, исходя из того, как упомянутая симметрия SU(3) обращается с тремя фундаментальными объектами, можно было с помощью довольно сложных математических законов выяснить и то, как она действует на группах из 8, 15, 21 элемента и т.д. Таким образом, оказалось, что в каком-то смысле вся наша материя сложена из этих трех элементов: весь этот сонм частиц, которые классифицировались по симметриям SU(3), состоит из трех доселе не наблюдавшихся частиц! Их назвали кварками.
Мариус Софус Ли (1842–1899) ― основатель теории непрерывных групп и их приложений в дифференциальных уравнениях. Теория групп Ли, возникнув в связи с дифференциальными уравнениями (любому из них отвечает такая группа преобразований, что при ее применении к уравнению оно не меняет свой вид), объединила разные отделы математики: дифференциальные уравнения, алгебру, основания геометрии, топологию и теоретическую физику. Источник справки: образовательный портал Математика для всех. Источник фото: Ludwik Szaciński. Общественное достояние, WikiMedia.
― То есть благодаря учебнику математики нам удалось вписать искомый элемент ― кварки ― в физическую картину мира, а затем уже обнаружить их экспериментально? Сколько лет прошло с момента создания теории Ли до осознания того факта, что один из списков Ли содержит те самые недостающие кирпичики мироздания?
― В математике есть не только симметрия SU(3), о которой мы с вами говорим, но и бесконечное количество других симметрий. Мы не знаем, почему природа выбрала именно эту. От того момента, как группы Ли были сформулированы в математике, и до того момента, как они вдруг понадобились для описания кварков, прошло более полувека. Затем процесс ускорился. Ученые стали искать эти загадочные три частицы, эти кварки, ранее никем не наблюдаемые. Они нашлись внутри хорошо знакомых нам протонов и нейтронов: каждый протон и нейтрон составлен из трех кварков. Но неожиданно оказалось, что вынуть эти кварки из протонов и нейтронов невозможно. Эти объекты существуют в довольно своеобразном смысле: они живут внутри других образований (например, протона), которые нельзя разобрать на части. Нельзя вытащить оттуда один кварк, они как бы склеены между собой. Мы ведь привыкли, что разобрать можно все что угодно, достаточно просто приложить большую энергию, но здесь не так.
― И всегда ведь ставился этот вопрос: сколько еще мы будем разбирать материю на части и где предел?
― В каком-то смысле кварки и есть предел. Это довольно изящное решение природы. Мы ведь всегда имели перед глазами идею матрешки: есть атом, в нем ― ядро, в ядре ― протоны и нейтроны… но вдруг появились кварки, неразрывно связанные между собой, и мы уперлись в совершенно иной способ существования материи. Мы знаем, что кварки в протоне есть, но не имеем никакого способа вынуть один кварк наружу. Вот такой своеобразный способ существования элементарных сущностей изобрела природа.
― Вы говорите, что по одному кварки вынуть нельзя. А все вместе можно?
― Можно извлечь кварки только в определенных комбинациях, которые и составляют «зоопарк» частиц. Критерием здесь может служить электрический заряд. У всех окружающих нас частиц (даже если они живут очень короткое время) электрический заряд выражается целым числом, если за единицу измерения принять заряд протона. Целочисленный заряд — это 0, ±1 и т.д. Но у кварков заряды кратны 1/3. Так вот, никакие «третьи доли» по Вселенной не путешествуют по отдельности, а непременно организуются в комбинации с целочисленным полным зарядом.
Слово «кварк» было заимствовано из романа Джеймса Джойса «Поминки по Финнегану». Слова «Три кварка для мистера Марка!» в романе выкрикивали чайки. В немецком языке слово Quark имеет значения «творог» и «чепуха». Американский физик-теоретик Марри Гелл-Манн предложил использовать причудливое слово «кварк» для обозначения новых элементарных частиц. Источник фото: фотобанк freepik.com
― Возвращаясь к теории Ли: были ли попытки проверить существование других организующих симметрий в природе? Насколько это вообще универсальное явление ― реализация каких-то математических моделей в нашем мире — и как далеко во Вселенной может работать наша земная математика?
― Видимо, очень далеко. Все наше понимание устройства микромира основано, во-первых, на знании того, что существуют симметрии, во-вторых, на понимании того факта, что за более общей картиной устройства мира стоят какие-то другие, бóльшие симметрии ― и их нужно искать.
Сам по себе список математических симметрий абсолютно бесконечен, но природа по каким-то причинам выбрала из него только некоторые.
Стандартная модель фундаментальных взаимодействий — это теория, описывающая фундаментальные квантовые поля, взаимодействия между ними и кванты этих полей — элементарные частицы. Стандартная модель охватывает слабое, сильное, и электромагнитное взаимодействия (гравитация не входит в Стандартную модель из-за незначительности ее проявлений на микроуровне и отсутствия теории квантовой гравитации). В настоящий момент установлено, что Стандартная модель неполна: в природе должны быть еще не открытые элементарные частицы (и отвечающие им поля). Источник иллюстрации: НОЖ.
В Стандартную модель фундаментальных взаимодействий, составляющую основу современной физики частиц, по определению встроены симметрии. Но мы точно знаем, что она не описывает весь мир и что есть частицы за ее пределами. Их весьма трудно обнаружить, для этого нужны супергигантские ускорители. Расширенным набором частиц почти наверняка тоже распоряжается какая-то группа симметрий — бо́льшая, но из тех, что были известны во времена Софуса Ли. Было предложено несколько вариантов теории Великого объединения, основанных на разных группах Ли, но у нас не хватает экспериментальных данных, чтобы сказать, какая из симметрий соответствует наблюдаемому миру, а какая нет. По нашим современным представлениям, фундаментальная природа основана на симметриях, часть из которых мы ухватили, а часть нет.
― Очень интересно! Несколько меняя тему, можно ли сказать, что частицы как бы размазаны по пространству-времени?
― Слово «частицы» вводит в заблуждение. Какие именно частицы?
― Например, электрон.
― Электрон элементарен ― у него нет ни свойства размера, ни свойства быть облачком или быть размазанным где-либо. Электроны управляются квантово-механическими законами довольно абстрактного толка. Математика говорит нам, что если мы будем светить на электрон в атоме, бомбардировать его чем-то, то обнаружим его, условно, один раз здесь, в следующий раз ― в другом месте, а в третий раз, возможно, ближе к атомному ядру. И если собрать очень большую статистику таких наблюдений, как бы наложить все картинки на одну, то мы увидим некое облако и скажем: «Вот здесь мы встречаем электрон чаще, а здесь ― реже».
Но это ничего не говорит о том, где электрон находится сам по себе; он и не находится ни в одной определенной точке пространства.
― Какая-то вещь в себе.
― Настолько вещь в себе, что в атоме в стационарном состоянии у электрона есть свойство обладать определенной энергией, но нет свойства занимать определенное положение в пространстве.
― То есть он не находится в пространстве?
― Даже не спрашивайте меня, где он находится! У него нет свойства находиться в определенной точке пространства, это свойство к нему не прикрепляется, если он обладает определенной энергией в атоме. Электрон, кстати, не может выглядеть как шарик, каким его часто изображают, или как облако, например. Он вообще никак не выглядит. При этом электрон способен поглощать и испускать свет, благодаря чему мы получаем много полезной информации. Но у нас нет никакой возможности «ткнуть в электрон пальцем», посмотреть на него глазами.
Мы судим об электроне лишь по косвенным признакам, а внутренность атома принципиально не видна нам ни в каком обычном смысле.
― Похоже на платоновский миф о пещере.
― Это даже нечто большее, чем пещера Платона. Платоновская идея заключается в том, что математика, существующая где-то, отображает себя в физическом мире, и тогда в этом смысле весь физический мир ― тень этой математики. Неочевидная идея, но ее можно обсуждать ― именно из-за того, что наш мир по каким-то непонятным причинам математический. Но, возвращаясь к элементарным частицам, ― это на самом деле не частицы, не мячики или шарики, а списки свойств. Что мы знаем про электрон? У него есть определенная масса, электрический заряд и несколько других свойств. На этом все. Больше мы про электрон не знаем ничего.
У электрона нет возраста, размера, на него нельзя поставить метку, отличающую его от другого электрона, и этот факт, кстати, имеет многочисленные последствия. На электроне не пишут никакие фломастеры, образно говоря.
Время жизни протона — более 1030 лет, время жизни Вселенной — около 1.4 × 1010 (14 млрд) лет.
― Только электроны такие странные? У протона тоже, например, нет возраста. Или, как считается, он живет вечно?
― О протоне в некотором смысле можно сказать, что у него есть правый бок и левый бок, потому что он состоит из кварков, но он все равно совсем не похож на «мячик, только очень маленький»; и два протона, как и два электрона, неразличимы, на них тоже нельзя поставить метку. Дело в том, что две квантовые частицы одного класса в принципе неразличимы. И у протонов нет возраста, как и у электронов. Графа «возраст» просто не предусмотрена в списке свойств.
Вообще про целый ряд свойств мы привыкли думать, что они всегда присущи вещам, но элементарные сущности, наши элементарные частицы существуют без них.
В гостях у Алексея Семихатова. Фото: Елена Либрик, «Научная Россия».
В гостях у Алексея Семихатова. Фото: Елена Либрик, «Научная Россия».
В гостях у Алексея Семихатова. Фото: Елена Либрик, «Научная Россия».
― Вы упомянули о массе частиц, и она тоже представляется чем-то относительным. Частицы сами по себе массы не имеют, а приобретают ее из-за взаимодействия с полем Хиггса. Значит, если бы они с ним не взаимодействовали, то их масса равнялась бы нулю, как у фотона, и в каком-то смысле весь наш мир тогда состоял бы исключительно из света, из фотонов?
― И да, и нет. Сначала про «да». Сейчас в природе среди прочего существуют безмассовые фотоны и их массивные «братья» Z-бозоны. До того момента, как поле Хиггса стало придавать массу частицам, и фотоны, и Z-бозоны были безмассовыми частицами, летающими по Вселенной со скоростью света. Но когда произошло событие, называемое спонтанным нарушением симметрии, Z-бозон из-за взаимодействия с полем Хиггса стал массивным (и сделался переносчиком слабого взаимодействия), а фотон остался безмассовым (и переносит электромагнитное взаимодействие). Это ровно то, как мы понимаем объединение электромагнитного и слабого взаимодействий: произошло некое явление, из-за которого одни частицы остались без массы, а другие стали массивны. Взаимодействие с полем Хиггса привело к нарушению симметрии и появлению массивных частиц.
В каком смысле ответ «нет». Далеко не вся масса, с которой мы имеем дело, складывается из-за взаимодействия с полем Хиггса: в массу кварков, например, оно не вносит и одного процента. Масса кварка возникает из энергии взаимодействия этого кварка с другими кварками, скажем, в протоне, а также с самим собой.
Элементарные частицы ― не последнее слово в отношении того, что такое кирпичики материи, а последнее на данный момент слово ― квантовые поля; элементарные частицы ― это их возбуждения, способы организации энергии этих полей. Поля взаимодействуют друг с другом, что в ряде случаев можно описать как испускание и поглощение одних частиц другими.
Про кварк тогда можно думать, что он окружен переносчиками сильного ядерного взаимодействия — глюонами; вот энергия этих глюонов и составляет почти всю массу кварка.
Взаимосвязь материальных объектов проявляется через их взаимодействие друг с другом. Мы не наблюдаем какого-то одного универсального вида взаимодействия, но знаем о четырех видах фундаментальных взаимодействий, которые осуществляются с помощью соответствующих полей. Это гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое взаимодействия. Они на разных уровнях организуют и структурируют элементы мира, сложенные из лептонов и кварков (из числа которых нас окружают электроны и нейтрино, а также u- и d-кварки, собранные в протоны и нейтроны). Гипотетическое объединение всех четырех взаимодействий в нечто единое иногда называется теорией всего. Источник иллюстрации: фотобанк freepik.com
― А ведь и наши три квантовых поля, переносящие фундаментальные взаимодействия (сильное, слабое и электромагнитное), тоже в каком-то смысле не то, чем они кажутся. Если бы мы располагали невероятно высокими температурами, они могли бы превратиться в одно единственное фундаментальное поле. Значит, дело только в отсутствии средств с нашей стороны?
― Повысить температуру требуемым образом означает устроить то, что или происходило в очень ранней Вселенной, или отчасти происходит в ускорителях в момент соударения протонов, когда они образуют некую единую сущность. К сожалению, даже той температуры, что мы получаем на самых мощных ускорителях, недостаточно, чтобы электрослабые и сильные взаимодействия слились в одно. Ваш вопрос, по сути, представляет собой продолжение истории о том, что симметрия в нашем мире нарушена, что в очень ранней и горячей Вселенной (первые доли секунды после Большого взрыва) эта симметрия еще не нарушилась и устройством мира руководила некая единая парадигма. Затем, по мере того как Вселенная остывала, перестало хватать энергии для рождения тяжелых частиц и единая симметрийная схема раскололась на несколько кусков. Эти куски мы сегодня наблюдаем в виде фундаментальных взаимодействий: электромагнитного, сильного, слабого; отдельно стоит гравитационное, его взаимоотношения с этой схемой малопонятны.
Кстати, это большой успех, что у нас есть теория электрослабого взаимодействия, объединившая электромагнитное и слабое взаимодействия в одно. Мы не знаем, каким образом все поля сливаются воедино и какая симметрия была ответственна за это в очень ранней Вселенной. Можно считать, из-за того, что не можем поднять температуру. Но речь о температуре здесь идет в запредельном смысле. Такая была всего один раз в истории ― почти сразу после рождения нашей Вселенной.
О квантовых полях, переносящих взаимодействия, надо еще сказать, что мы умеем математически управляться с ними, когда взаимодействия не слишком интенсивные. Например, взаимодействие двух электронов неплохо описывается как обмен фотоном (это не совсем такой же фотон, как тот, что фиксирует наш глаз или фотоаппарат, а так называемый виртуальный, но давайте не будем сейчас концентрироваться на различиях). Один электрон испускает, а другой поглощает фотон, и таким способом они и «пинают» друг друга. Более точная картина взаимодействия двух электронов получится, если учесть возможность обмена двумя фотонами, а далее тремя и т.д.; последующие уточнения оказываются все меньше, и на таком пути достигнута беспрецедентная в науке точность в согласии между теорией и экспериментом.
Но схема, состоящая в последовательном учете обмена частицами (квантами поля-переносчика), работает не всегда. Интенсивные взаимодействия полей могут быть устроены сложнее; это лишний раз напоминает нам, что в основе мира лежат квантовые поля, а отдельные элементарные частицы — одно из проявлений, очень распространенное, но не единственное.
― Вы говорили, что мощностей наших ускорителей уже не хватает, чтобы открывать новую физику, новые частицы. А что насчет теоретического аппарата? Здесь мы тоже зашли в тупик?
― Мне не хочется произносить слово «тупик», хотя в случае с ускорителями именно с этим мы и столкнулись. Ученые действительно не в состоянии угнаться за природой, получая на ускорителях все более массивные частицы. Это означает, что, возможно, мы никогда не узнаем, какова та самая загадочная симметрия, обобщающая симметрию Стандартной модели. Технически мы не можем воссоздать ее на ускорителях. Это с одной стороны. С другой стороны, у нас есть проблема и с кварками. Мы хорошо понимаем, как они себя ведут, находясь очень близко друг к другу в недрах протона, ― там работает схема, о которой я только что говорил: картина взаимодействия складывается из обменов отдельными глюонами. Нам хватает математики для описания происходящего, и она неплохо подтверждается экспериментами. Но мы сталкиваемся с колоссальными математическими сложностями при попытке описать, каким же именно образом взаимодействие не выпускает отдельные кварки наружу из протона.
Этот пример вместе с рядом аналогичных, возможно, говорит, что мы хорошо изучили все простое и уперлись в очень сложные системы, с которыми не умеем толком обращаться математически; можно сказать, что мы исчерпали запас простоты.
Когда один из кварков пытается под воздействием переданной ему энергии вырваться из протона, активируется огромное количество степеней свободы в глюонном поле и в кварковых полях: рождаются и поглощаются многочисленные частицы, происходит интенсивный обмен энергией.
У нас нет математических средств, чтобы это описать. Эта задача математического вывода так называемого конфайнмента (пленения) кварков внутри протона оценена в миллион долларов, но, решив ее, вы заработаете гораздо больше только на одних лекциях по всему миру. Фундаментальные правила игры в рамках квантовой теории поля вроде бы известны, но нет методов, чтобы протянуть нить от базисных положений к пленению кварков в протоны и нейтроны.
― Хочется верить, что когда-нибудь мы разгадаем эту загадку. Алексей Михайлович, напоследок расскажите, пожалуйста, о своей книге «Все, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной», которая совсем скоро выйдет в издательстве «Альпина нон-фикшн». Что интересного там можно будет найти?
― В книге рассмотрены многие из вопросов, которые мы сегодня обсуждали, а сюжет в том, что современное знание есть результат развития науки начиная с Нового времени и что мы познаем мир через происходящие в нем изменения, наблюдая за всем и привлекая все, что движется. Планеты движутся по небу, и законы их движения нам открыл Иоганн Кеплер. Ньютон затем математически вывел Кеплеровы орбиты из более фундаментальных предположений. Сегодня мы измеряем спин электрона по тому, в какую сторону электрон отклоняется, пролетая через неоднородное магнитное поле. О существовании атомного ядра мы узнали, использовав движущиеся альфа-частицы. Из нарушений в движении Урана мы узнали о существовании планеты Нептун, а сейчас предсказываем существование Планеты 9 в Солнечной системе из-за хитрых корреляций в том, как движутся ряд транснептуновых объектов. Вся история про темную материю — попытка найти причину для наблюдаемого движения звезд в галактиках и самих галактик в скоплениях. Безостановочное движение внутри вещей, окружающих нас, имеет в качестве своих проявлений температуру и энтропию, и свойства вещей во многом определяются характером этого движения.
Моя книга — это прогулка по современной научной картине мира с идеей движения в качестве проводника. Ведь в природе все движется!
Обложка книги Алексея Семихатова «Все, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной. От космических орбит до квантовых полей». Фото с сайта «Альпина Паблишер».
Немалая часть книги посвящена двум столпам, лежащим в основе фундаментального знания о мире, ― общей теории относительности и квантовой теории. Первая ― про то, как устроен космос на больших масштабах. Там правит гравитация, и там математика уводит нас из пространства, в котором мы живем, в искривленное пространство-время, где мы оперируем сущностями, напрямую не наблюдаемыми, но позволяющими делать сбывающиеся предсказания: от черных дыр и гравитационных волн до, возможно, судьбы Вселенной. Квантовая теория даже более удивительна. В ней многие привычные понятия (увы? или не увы?) еще сильнее растворяются в математических абстракциях. Мы достигли больших успехов, карабкаясь вверх по лестнице абстракций, которые, как ни удивительно, снова позволяют делать сбывающиеся предсказания, но нам нелегко отвечать на прямые вопросы о том, какое в точности отношение эти математические объекты имеют к физическому миру. И два столпа — квантовая теория и теория относительности — не согласуются друг с другом.
Мы держим в каждой руке по половине мира и не знаем, как их соединить.
В книге, впрочем, в основном «конструктив»: например, там обсуждается, может ли очень искушенный в науках демон Максвелла все-таки противостоять возрастанию энтропии; как определенный вид «вражды» между величинами в квантовой механике обеспечивает относительную регулярность мира, в том числе делающую возможной наше существование; и как далеко в глубины космоса позволяют или не позволяют нам добраться известные законы природы.
Интервью проведено при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ и Российской академии наук.
